Mitglieder der Bandidos und der Waterdogs lieferten sich gegen 17:00 Uhr (2100 GMT) einen Schusswechsel auf der belebten Hauptstraße der Bergstadt, 75 Meilen nordöstlich der Hauptstadt Santa Fe, sagte Polizeichef Tim Johnson am Sonntag.
"Es war einfach ein Bandenmitglied gegen ein Bandenmitglied", sagte Johnson auf einer Pressekonferenz in Red River und fügte hinzu, dass keine Unbeteiligten verletzt wurden.
Von den drei Getöteten waren zwei Bandidos und einer war ein Waterdog, sagte der Polizeichef.
Einer der Getöteten war ein Anführer der Bandidos aus New Mexico, während einer der Festgenommenen ein Bandido-Anführer aus Texas war, sagte Johnson. Jacob Castillo, ein Waterdog aus Rio Rancho, New Mexico, wurde verhaftet und des Mordes angeklagt, sagte er.
Die Konfrontation begann in Albuquerque, der größten Stadt New Mexicos, wegen eines Fotos, in das eine andere Bande verwickelt war, und weitete sich dann auf das jährliche Memorial Day Motorradtreffen in Red River aus, sagte Johnson.
Die Bandidos waren in den letzten zwei Monaten in mindestens drei Schießereien in Texas und Oklahoma verwickelt, sagte er.
Etwa 28.000 Biker aus dem ganzen Land wurden zu der Memorial Day Rallye erwartet, bei der es Live-Musik und Gedenkzeremonien am Vietnam Veterans Memorial im nahe gelegenen Angel Fire gab.
Die Bürgermeisterin von Red River, Linda Calhoun, riet den örtlichen Geschäften, zu schließen.
Der Vorfall ereignete sich acht Jahre nachdem bei einer Schießerei in Waco, Texas, an der Mitglieder von Motorradgruppen wie den Bandidos und Cossacks beteiligt waren, neun Biker getötet und 18 verwundet wurden.
Einige der Verwundeten wurden in ein Krankenhaus in Taos, New Mexico, etwa 25 Meilen südwestlich, gebracht, wo die Behörden den Verkauf von Alkohol verboten und eine Ausgangssperre verhängt haben.
